Penjelasan Aturan Sinus dan Mencari Panjang Sisi Segitiga Menggunakan Aturan Sinus

Aturan sinus merupakan perluasan dari konsep trigonometri yang sebelumnya hanya terbatas pada segitiga siku-siku. Melalui aturan sinus, fungsi trigonometri sinus dapat digunakan dalam segitiga sembarang.

Aturan Sinus
Dalam setiap segitiga ABC sembarang, perbandingan panjang sisi dan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi tersebut mempunyai nilai yang sama.

Simak pembuktian rumusnya berikut ini.
Perhatikan ΔABC lancip pada gambar di bawah ini. Garis-garis AP, BQ, dan CR masing-masing merupakan garis tinggi pada sisi a, sisi b, dan sisi c.
Perhatikan ΔACR dan ΔBCR dari ΔABC lancip di atas.
Pada ΔACR berlaku:

⇔ CR = b sin A ... (1)
Pada ΔBCR berlaku:

⇔ CR = a sin B ... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa panjang CR adalah sebagai berikut.
CR = b sin A = a sin B
Perhatikan ΔBAP dan ΔCAP dari ΔABC di atas.
Pada ΔBAP berlaku:

⇔ AP = c sin B ... (4)
Pada ΔCAP berlaku:

⇔ AP = b sin C ... (5)
Dari (3) dan (4) diperoleh bahwa panjang AP adalah sebagai berikut.
AP = c sin B = b sin C
Dari (3) dan (6) dapat diperoleh sebuah rumus sebagai berikut.

Rumus ini disebut sebagai aturan sinus.


Pada dasarnya, aturan sinus digunakan untuk menentukan unsur-unsur dalam segitiga apabila unsur-unsur lainnya diketahui. Untuk menentukan panjang sisi segitiga menggunakan aturan sinus, setidaknya harus ada tiga unsur pada segitiga yang sudah diketahui, yaitu:
1. Sisi, sudut, sudut
2. Sisi, sisi, sudut
3. Sudut, sisi, sudut

Itu artinya, panjang sisi segitiga dapat dihitung menggunakan aturan sinus hanya jika ada tiga unsur yang diketahui dengan susunan seperti yang dijabarkan di atas. Jika hanya ada dua unsur yang diketahui (misalnya sisi dan sudut), maka panjang sisi yang lain tidak bisa ditentukan dengan aturan sinus.

Contoh Soal dan Pembahasan

Suatu segitiga ABC memiliki panjang AC = 8 cm. Jika besar \angle BAC = 45^{o} dan \angle BAC = 45^{o}, maka panjang BC = … cm.
    \[ \textrm{A.} \; \; \; 8 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; 7 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; 4 \sqrt{2} \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{8 \sqrt{6}}{3} \]
Pembahasan:
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat diperoleh informasi seperti berikut ini.
contoh soal aturan sinus
Panjang BC dapat dicari menggunakan aturan sinus.
    \[ \frac{BC}{sin \; A} = \frac{AC}{sin \; B} \]
    \[ \frac{BC}{sin \; 45^{o}} = \frac{AC}{sin \; 60^{o}} \]
    \[ \frac{BC}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2} \sqrt{3} } \]
    \[ BC = \frac{8}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \]
    \[ BC = \frac{8 \sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \]
    \[ BC = \frac{8 \sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
    \[ BC = \frac{8 \sqrt{6}}{ 3} \]
Jawaban: E



Contoh Soal
Perhatikan gambar dibawah ini! 

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi a = 12 cm seperti gambar berikut.
Jika besar sudut A adalah 62o dan besar sudut B adalah 35o, maka tentukanlah panjang sisi c!
 
Pembahasan :
Dik : a = 12 cm, ∠A = 62o, ∠B = 35o
Dit : c = ... ?
Karena yang ditanya adalah panjang sisi c, maka langkah pertama adalah kita tentukan dulu besar sudut di hadapan sisi c yaitu sudut C.
#1 Menentukan Besar sudut C :
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180o
⇒ ∠C = 180o  − (∠A + ∠B)
⇒ ∠C = 180o  − (62o + 35o)
⇒ ∠C = 180o  − 97o
⇒ ∠C = 83o
#2 Menentukan panjang c dengan aturan sinus :
c = a
sin C sin A
c = 12
sin 83o sin 62o
c = 12
0,99 0,88
⇒ c = 11,88
0,88
⇒ c = 13,5 cm
Jadi, panjang sisi c adalah 13,5 cm.

Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut

Cara mencari panjang sisi segitiga menggunakan aturan sinus selanjutnya yang akan saya jelaskan ialah jika kondisinya diketahui dua sisi dan satu sudut. Susunan unsur yang telah diketahui tersebut berupa sisi – sisi – sudut. Dengan kata lain dalam segitiga tersebut telah diketahui salah satu sisi yang berhadapan dengan sudut. Untuk menentukan panjang sisi segitiga dengan aturan sinus tersebut dapat menggunakan langkah langkah seperti di bawah ini:
  • Diketahui sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut yang akan dicari.
  • Menentukan sisi yang ditanya dimana letaknya berhadapan dengan besar sudut.
  • Menentukan panjang sisi menggunakan aturan sinus.
Agar anda lebih memahami cara mencari panjang sisi menggunakan aturan sinus tersebut. Maka saya akan membagikan contoh soal aturan sinus jika diketahui dua sisi dan satu sudut. Berikut contoh soal dan pembahasannya:

Contoh Soal
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini! 


Gambar segitiga ABC di atas memiliki sisi a yang panjangnya 12 cm, sisi b dengan panjang 16 cm dan sudut B besarnya 72⁰. Berapakah panjang sisi c pada segitiga ABC tersebut?
Pembahasan
Diketahui : a = 12 cm, b = 16 cm, ∠B = 72⁰
Ditanyakan : c = ?
Jawab :
Langkah pertama yang perlu dilakukan ialah mencari besar sudut A terlebih dahulu. Besar sudut A dapat dicari dengan rumus di bawah ini:
Mencari Panjang Sisi Segitiga Menggunakan Aturan Sinus Lengkap
Setelah sudut A dan B diketahui, langkah berikutnya ialah menentukan besar dari sudut C. Adapun rumusnya yaitu sebagai berikut:
∠A + ∠B + ∠C = 180⁰
                   ∠C = 180⁰ − (∠A + ∠B)
                   ∠C = 180⁰ − (46⁰ + 72⁰)
                   ∠C = 180⁰ − 118⁰
                   ∠C = 62⁰
Selanjutnya tinggal mencari panjang c menggunakan aturan sinus. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Mencari Panjang Sisi Segitiga Menggunakan Aturan Sinus Lengkap
Jadi panjang sisi c pada gambar segitiga tersebut ialah 14,87 cm.

 

Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut

Cara mencari panjang sisi segitiga menggunakan aturan sinus selanjutnya yang akan saya jelaskan ialah jika kondisinya diketahui dua sudut dan satu sisi. Susunan unsur yang telah diketahui tersebut berupa sudut – sisi – sudut. Dengan kata lain dalam segitiga tersebut terdapat sisi yang didepannya belum diketahui sudutnya. Untuk menentukan panjang sisi segitiga dengan aturan sinus tersebut dapat menggunakan langkah langkah seperti di bawah ini:
  • Diketahui sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut yang akan dicari.
  • Menentukan panjang sisi menggunakan aturan sinus.
Agar anda lebih memahami cara mencari panjang sisi menggunakan aturan sinus tersebut. Maka saya akan membagikan contoh soal aturan sinus jika diketahui dua sudut dan satu sisi. Berikut contoh soal dan pembahasannya: 

Contoh Soal
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini! 

Gambar segitiga ABC di atas memiliki sisi c yang panjangnya 12 cm, sudut A dengan besar 54⁰ dan sudut B besarnya 46⁰. Berapakah panjang sisi a pada segitiga ABC tersebut?
Pembahasan
Diketahui : c = 12 cm, A = 54⁰, B = 46⁰
Ditanyakan : a = ?
Jawab :
Langkah pertama yang dilakukan ialah mencari besar sudut c yang belum diketahui, dimana letaknya berada di hadapan sisi c. Adapun caranya yaitu:
∠A + ∠B + ∠C = 180⁰
                   ∠C = 180⁰ − (∠A + ∠B)
                   ∠C = 180⁰ − (54⁰ + 46⁰)
                   ∠C = 180⁰ − 100⁰
                   ∠C = 80⁰
Setelah besar sudut C diketahui, kemudian mencari panjang a menggunakan aturan sinus. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
Mencari Panjang Sisi Segitiga Menggunakan Aturan Sinus Lengkap
Jadi panjang sisi a pada gambar segitiga tersebut ialah 9,7 cm.


Latihan Soal Aturan Sinus


1. Perhatikan gambar berikut!
latihan-soal-aturan-sinus-sukar-01a
Nilai dari cosC
adalah…

Pembahasan..

ABsinC=ACsinB
20sinC=30sin30
sinC=201230
=1030=13 Gunakan segitiga siku-siku sebagai berikut!
latihan-soal-aturan-sinus-sukar-01b
cosC=223




2.Perhatikan gambar berikut!
latihan-soal-aturan-sinus-sedang-01
Panjang dari BC adalah…

Pembahasan..
BCsinA=ACsinB
BCsin60=10sin45
BC123=10122
BC=10123122
=103222=56


Penelusuran yang terkait dengan Mencari Panjang Sisi Segitiga Menggunakan Aturan Sinus

Belum ada Komentar untuk "Penjelasan Aturan Sinus dan Mencari Panjang Sisi Segitiga Menggunakan Aturan Sinus"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel